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黎曼猜想即将解开,世界线会改变吗?

文/刘义山

厉害的函数与直线

如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明,多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。”

这是美国数学家蒙哥马利对横亘数学界150年屹立不倒的“黎曼猜想”发自内心的由衷赞美。

1859年,黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报,他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

论文所研究的是一个长期以来困扰着数学界的核心问题,即素数(又称“质数”)的分布规律。所谓素数,是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。虽然素数的定义简单得在中小学的课堂上就能够被普及与传播,但它们的分布规律却诡异莫测,偶尔露出一点端倪,却始终是神龙见首不见尾,空让几百年岁月里的数学家们呕心沥血,却始终未能窥得全貌。偏偏素数这个玩意儿,在数论研究中有着极为深渊的意义与作用,如同物理世界中用以构筑万物的原子,又如土建工程中摩天大楼座下的地基。

黎曼论文的一个重大的成果,就是发现了一个特殊的函数ζ(s)= 1 + 1 / 2S+ 1 / 3S+ 1 / 4S+…;

ζ(s)= 0位于一条垂直直线上。

可以说,质数分布的奥秘,完全蕴藏在这个特殊的函数之中,尤其是使函数取值为零的一系列特殊的点,对质数分布的细致规律有着决定性的影响。这个函数如今被称为黎曼泽塔函数,那一系列特殊的点则被称为黎曼泽塔函数的非平凡零点。黎曼本人在最后用十分谨慎的语气写到:很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线,从此被称为临界线。而最后这个命题,就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。

数字接力狂想曲

1900年的巴黎,著名的天才大数学家希尔伯特(Hilbert)代表数学界提出了23个影响深远的问题,其中黎曼猜想作为第8个问题的一部分正式被世人所知。自此之后,百年轮回,一代代的科学家们前赴后继,投身于斯,黎曼猜想却依然如巍峨奇峰,矗立在人类的智力巅峰之上傲视群伦。

1903年,丹麦数学家第一次算出了前15个非平凡零点的具体数值。在黎曼猜想公布44年后,人们终于看到了零点的模样。毫无意外的是,这些零点的实部全部都是0.5。

1925年,李特尔伍德(Littlewood)和哈代(Hardy)改进了计算方法,算出前138个零点,这基本达到了人类计算能力的极限。

1966年,非平凡零点已经验证到了350万个。20年后,计算机已经能够算出Zeta函数前15亿个非平凡零点,这些零点无一例外地都满足黎曼猜想。

2004年,这一记录达到了8500亿。最新的成果是法国团队用改进的算法,将黎曼Zeta函数的零点计算出了前10万亿个,仍然没有发现反例。

然而,黎曼Zeta函数毕竟有无穷多个零点,在无穷无尽的数字海洋里,所谓的十万亿仍然只是沧海一粟。黎曼猜想的证明在哪里,终点在哪里,人们仍是茫茫然不得而知。

不过,在一百五十余年艰苦卓绝的战斗之后,人类似乎即将迎来胜利的曙光。近日,菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主、英国皇家学会前主席迈克尔·阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想,他将在9月24日的海德堡获奖者论坛上进行宣讲,届时或将给出黎曼猜想的全部证明过程。这对于全体人类而言当然是个振奋人心的好消息,可是,跨越百年对一个数学问题的追寻让很多人开始沉思这样一件事情:黎曼猜想到底有什么意义?它被证实或是证伪,会改变世界线吗?

黎曼猜想的意义与世界线的收束

其实,数学的理论绝不是花圃中只能够用以孤芳自赏的花朵,二十一世纪以来,越来越多的数学理论成果开枝散叶,黎曼猜想也和很多曾经被认为无用之学的分支一样,在今日早已经成为现代科技最强有力的工具,为现代科技与人类文明的发展推波助澜。

首先,黎曼猜想对于数论研究,其重要性与影响力有如珠穆朗玛峰比之喜马拉雅山脉。在目前数学论文的诸多研究中,现有很多数学命题都是以黎曼猜想及推广形式的成立作为基础和前提,据调查统计,这样的命题数量有一千余个之多,这也就意味着,如果黎曼猜想被成功证明,那么这上千个数学命题与理论将会荣升为“定理”。

再者,黎曼猜想对于素数本身的研究就是至关重要的,对黎曼猜想早期漫长的研究直接推动了素数定理的证明,而猜想如果被证明,则说明素数本身没有惊天的结构变化,它是几乎均匀而随机的。可以说,黎曼猜想关乎的不仅仅是一个Zeta函数非零点分布这样最纯粹的数学性质,而是展示了素数这一群体在自然数序列里优雅律动的舞姿。

另外,早在20世纪70年代,就有科学家发现黎曼猜想与某些物理现象存在显著的关联,它连接着量子体系、无序介质和神经网络等等经典的混沌系统,在物理学最基础的原理中留下了许多规律痕迹。黎曼猜想仿佛风暴的缘起之处蝴蝶扑腾的翅膀,虽然细微难寻,但也默默地在建立起数学与物理世界之间的联系,指引着人类执着地追寻着真理之路。

那么,如果最终的结论是黎曼猜想最终被证伪呢?可以肯定的是,一旦黎曼猜想被证伪,那么将会影响整个以黎曼猜想作为前提的数学体系,那些建立在它基础之上的“定理”也都将会地基坍塌,灰飞烟灭。但是,我们并不必因此而担心,因为一旦找到黎曼猜想的反例,就说明我们找到了一个ζ(s)= 0的根,它意味着我们将会找到了一个关于素数极其重要的规律,很可能会给我们对数的研究和认识带来惊天动地的飞跃。

这也是为什么当迈克尔·阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想的消息传开之时,数学界一片轰动,海德堡获奖者论坛瞬间崩溃的原因。无论它是对是错,都不会改变我们这条世界线的行进,它始终都会让数学和世界变得更加先进和美好。

让我们一起拭目以待吧,无论如何,黎曼猜想神秘面纱被揭开的那天,它注定将会成为数学史上一次伟大而不可磨灭的纪元节点。